Scambio termico per irraggiamento (1999)

Questo documento include i seguenti argomenti:

  1. Scambio termico per irraggiamento
  2. Grandezze energetiche
  3. Leggi del corpo nero
    1. Legge di Stefan - Boltzmann
    2. Legge di Prevost
    3. Legge di Plank
    4. Legge di Wien
    5. Legge di Lambert

   Lo scambio termico per irraggiamento avviene tramite l'emissione o la ricezione di onde elettromagnetiche da parte di più corpi. Ogni corpo ad una certa temperatura T emette e riceve radiazioni elettromagnetiche con una certa intensità che può essere variabile nel tempo, indipendentemente dal mezzo in cui si trova, quindi anche nel vuoto.

Corpo irradiante

   Se si pone un recinto attorno al corpo alla sua stessa temperatura, la temperatura del corpo non varia. Infatti, congruamente al Primo Principio della Termodinamica, i corpi si scambiano calore a seconda della differenza di temperatura a cui si trovano, e ciò si verifica anche per l'irraggiamento: è sufficiente che i corpi si vedano, e se sono alla stessa temperatura, lo scambio di onde elettromagnetiche è in condizioni di equilibrio. Si può così verificare concettualmente che i corpi che possono scambiarsi calore solo per irraggiamento vanno in equilibrio termico quando tante radiazioni emettono quante ne ricevono.

Corpo all'interno di un recinto

   Affinché si verifichi il fenomeno di irraggiamento di energia, è necessario che sia il campo elettrico che il campo magnetico fluttuino nel tempo. Se non c'è oscillazione infatti non c'è radiazione: è di esperienza comune la presenza di forti campi statici di tipo magnetico nelle calamite o di tipo elettrico nei condensatori che non irradiano calore.
   L'irraggiamento di onde elettromagnetiche si può schematizzare graficamente come due vettori ortogonali a se stessi ed alla direzione di propagazione, denominati campo elettrico E e campo magnetico B, che oscillano nel tempo sul proprio asse.

Propagazione nello spazio

Fig. 1 - Propagazione nello spazio

   La propagazione nel vuoto di un'onda di questo tipo avviene alla velocità della luce:

c=300000 km/s   (1)

   Nei mezzi invece avviene alla velocità della luce corretta con un opportuno indice di rifrazione (che nel vuoto è uguale a uno):

(2)   (2)

   Oltretutto solo il vuoto è completamente trasparente alla radiazione elettromagnetica: nei mezzi si considera sempre un coefficiente di estinzione beta che influisce esponenzialmente sull'intensità della radiazione nel seguente modo:

(3)   (3)

   Se si osservano i vettori E e B al variare del tempo, si nota che fluttuano con una certa periodicità, schematizzabile graficamente con un sinusoide di lunghezza d'onda:

(4)   (4)

Propagazione nel tempo

Fig. 2 - Propagazione nel tempo

   Se campo elettrico e campo magnetico si trovano in fase (come in figura) si ha la massimizzazione del trasporto di energia. Si possono notare molte analogie in questo senso con la propagazione di onde in acustica. Anche nelle onde acustiche si ha a che fare con due grandezze variabili, con la differenza che, nel caso di onde elettromagnetiche, sono entrambe vettoriali e sono ortogonali alla direzione di propagazione.
   Differentemente all'acustica, nell'irraggiamento è rarissima l'emissione in tono puro con oscillazione sinusoidale (qui chiamata monocromatica): l'unico caso di questo tipo è il laser, mentre generalmente i corpi tendono ad emettere rumore in banda larga. Solo certi corpi, detti colorati, hanno emissione privilegiata a certe lunghezze d'onda, oppure altri, detti grigi, hanno emissione uniforme su tutto lo spettro.
   Nel campo delle onde elettromagnetiche è di uso convenzionale realizzare il grafico dello spettro in funzione delle lunghezze d'onda anziché della frequenza. Questa scelta ne ribalta l'interpretazione rispetto all'acustica: le basse frequenze si trovano sul lato destro dello spettro e le alte sul lato sinistro.

Spettro onde elettromagnetiche

Fig. 3 - Spettro onde elettromagnetiche

Grandezze energetiche

   Da un punto di vista energetico, nessun tipo di radiazioni elettromagnetiche è trascurabile: si possono sperimentare i loro effetti termici a diverse lunghezze d'onda esponendosi al sole, utilizzando i telefoni cellulari o i forni a microonde, e così via. Quindi termicamente tutto lo spettro è da considerare, ed il trasferimento di energia si ha a qualunque lunghezza d'onda.
   L'effetto di trasferimento di energia dalla radiazione al mezzo attraversato, dipende quindi da b coefficiente di estinzione che regola la quota di energia "intrappolata" durante l'attraversamento. I corpi opachi, ad esempio, hanno coefficiente beta altissimo, che può essere reso finito solo se ne consideriamo strati di spessore micrometrico (come quelli ricavati dall'affettatrice micrometrica per microscopi), facendo così diventare il materiale trasparente.
   Nel campo del visibile inoltre si valuta abitualmente la radiazione in base al suo colore. Ma non è detto che il colore percepito sia figlio di una radiazione monocromatica pura. Il sistema percettivo umano estrae il tono dall'insieme dello spettro, rendendo la valutazione fisica di questo parametro abbastanza complessa.

Spettro della luce visibile

   Da tutte queste considerazioni nasce la necessità di definire delle grandezze che consentano di stabilire la quota di energia scambiata dai corpi per irraggiamento.
   Si definisce così il potere emissivo integrale q o densità di flusso termico, quantità dipendente solo dalla temperatura, quindi sempre positiva, che ha la grandezza di w/m^2, e che fa riferimento all'energia totale di tutto lo spettro.
   Altra grandezza utile per l'irraggiamento è il potere emissivo specifico o monocromatico, definito come:

(5)   (5)

che viene calcolato in uno specifico punto dello spettro. È quindi facile ricavare che:

(6)   (6)

   Si può notare che un corpo opaco, oltre ad irradiare una certa qe, riflette una quantità qr di radiazione ricevuta qinc, dopo averne assorbita una quantità qa ed eventualmente trasmessa una quantità qt.

Poteri emissivi integrali

   La qe irradiata è molto piccola, o addirittura al di fuori del campo visibile stesso. È per questo che i colori dei corpi a temperatura ambiente, per come percepiti dall'occhio umano, dipendono soprattutto dalla qr riflessa. Solo alle alte temperature la qe irradiata inizia a diventare rilevante ed i corpi si colorano a partire dal rosso.
   Partendo dalla semplice relazione:

(7)   (7)

dividendo membro a membro per qinc:

(8)   (8)

e definendo:

(9)    (9)    (9)   (9)

rispettivamente come coefficienti di assorbimento, di riflessione e di trasmissione, si ha che, trascurando quest'ultimo, e ricavando qr:

(10)   (10)

   Il coefficiente di assorbimento a ha un suo spettro che varia tra 0 e 1 in funzione della lunghezza d'onda.

Ipotetico spettro di a

Fig. 4 - Ipotetico spettro di a

   Grazie al coefficiente di assorbimento si può ora definire con precisione l'assorbitore totale o corpo nero, come corpo che ha a=1 relativamente ad ogni lunghezza d'onda. Un oggetto di questo genere assorbe la radiazione di qualunque lambda senza rifletterla, nonostante sia un grande emettitore ed alle alte temperature possa colorarsi per emissione.

Realizzazione teorica di un corpo nero  Realizzazione pratica di un corpo nero

Fig. 5 - Realizzazione teorica e pratica di un corpo nero.
I raggi che entrano nel corpo nero si estinguono prima di riuscire ad uscire.

   Il corpo grigio invece è un corpo che ha il coefficiente a<1, ma costante a tutte le lunghezze d'onda. Infine il corpo bianco ha a=0 per tutte le frequenze e quindi assorbimento nullo.
   Il coefficiente a non è però sufficiente a definire il colore percepito di un oggetto. Il colore infatti dipende per la maggior parte dalla luce incidente. Una corretta colorimetria può quindi essere realizzata solo determinando la funzione di trasferimento fra lo spettro della luce incidente e quello della luce riflessa.
   Ai fini dello scambio termico è interessante solamente la radiazione emessa, mentre la radiazione riflessa è fonte di disturbo soprattutto per gli strumenti di misura.

Leggi del corpo nero

Legge di Stefan - Boltzmann

   La legge di Stefan - Boltzmann ci fornisce il valore numerico del potere emissivo integrale per un corpo nero:

(11)   (11)

dove sigma0 è detta costante di Stefan - Boltzmann e vale:

(12)   (12)

   Riportando su di un grafico i valori di q0 in funzione della temperatura si ottiene un ramo di parabola.

Grafico Legge di Stefan - Boltzmann

   È immediato notare la complessità strumentale che può nascere dalla misura di q0, dovuta alle notevoli differenze di precisione necessarie per valutare la temperatura risultante: per bassi valori del potere emissivo integrale è utile un'alta precisione per ottenere un corretto valore di T nell'ampio campo di valori possibili. Nel caso di alti valori di q0 invece vi è la situazione complementare.
   Sempre da questo grafico è possibile notare come il corpo nero abbia un'altissima emissione di radiazioni alle alte temperature.
   È utile infine ricordare che l'energia emessa si modifica al variare della temperatura del corpo stesso, ma la quota ricevuta invece non varia, se non con dipendenza dalla temperatura del corpo emittente.

Legge di Prevost

   La legge di Prevost definisce in maniera semplice l'energia che viene scambiata per irraggiamento:

(13)   (13)

   Grazie alla legge di Prevost e ad un semplice esperimento è possibile ricavare alcune relazioni sul corpo grigio: ponendo un corpo grigio in un recinto realizzato con un corpo nero, entrambi alla stessa temperatura, è immediato per Prevost verificare che qs è nullo (visto che il flusso emesso e il flusso ricevuto dal corpo sono uguali).

Corpo grigio all'interno di un corpo nero

   Essendo però il corpo centrale grigio, non catturerà tutta l'energia irradiata dal corpo nero, ma solo una parte dipendentemente dal suo coefficiente a:

(14)   (14)

che sarà pure uguale a quella irradiata a qualunque temperatura. Si arriva quindi all'importante conclusione che:

(15)   (15)

dove e è il coefficiente di emissione. Per un corpo grigio quindi è sufficiente porre il coefficiente a davanti alla formula di Stefan - Boltzmann per ottenere il potere emissivo integrale. Se invece il corpo non è grigio la situazione si complica, ma sperimentalmente si ottiene sempre che l'emissione bilancia l'assorbimento:

(16)   (16)

   Per i nostri scopi sarà però sufficiente studiare solamente il corpo grigio.

Legge di Planck

   La legge di Planck fornisce lo spettro di emissione del corpo nero:

(17)   (17)

dove:

(18)   (18)

(19)   (19)

sono le costanti di Planck.

Spettro di emissione del corpo nero

Fig. 6 - Spettro di emissione del corpo nero. La banda gialla indica il campo del visibile.

   Tracciando il grafico del potere emissivo specifico ottenuto dalla legge di Planck per diverse temperature costanti, si ottengono delle curve che hanno il loro massimo in corrispondenza del colore di emissione privilegiato. Si nota subito come questo massimo si sposti verso le basse frequenze al diminuire di T.
   È grazie allo spettro di emissione del corpo nero che si è riusciti a dare una definizione precisa di temperatura di colore, come la temperatura della curva che minimizza gli scarti nei confronti dello spettro reale di una fonte luminosa.

Spettro di emissione del Sole a confronto con quello del corpo nero

Fig. 7 - Spettro di emissione del Sole a confronto con quello del corpo nero.
È possibile notare come la temperatura della luce solare si avvicini ai 6000K.

Legge di Wien

   Detta anche legge del regresso, indica il punto di massimo dello spettro della legge di Planck. Derivando infatti quest'ultima rispetto a lambda ed imponendo che la derivata si annulli si ottiene che:

(20)   (20)

che rappresenta il luogo dei massimi dello spettro di emissione del corpo nero, ed è un ramo di iperbole.

Legge di Lambert

   È importante a questo punto analizzare come avviene l'emissione nello spazio e per far questo si definirà una nuova grandezza, il potere emissivo angolare, come:

(21)   (21)

Dati potere emissivo angolare

che ha la grandezza di w/m^2*sterad e permette di ricavare immediatamente:

(22)   (22)

   Cercando di analizzare la distribuzione spaziale di i0, l'ipotesi più ovvia è quella di porre il potere emissivo angolare costante, che fornisce un solido di radiazione semisferico. Nella realtà questa ipotesi è mal verificata, in quanto si ha sperimentalmente che l'emissione è massima ortogonalmente alla superficie.

Solido di radiazione semisferico

   La legge di Lambert pone rimedio a questa incongruenza, definendo:

(23)   (23)

dove ion rappresenta il potere emissivo lungo la direzione normale alla superficie, ottenendo un solido di radiazione di tipo sferico.

Solido di radiazione sferico

   Purtroppo non è possibile applicare una correzione semplice alla legge di Lambert per il corpo grigio, in quanto i solidi di radiazione, in questo caso, hanno forme molto complesse.
Infine un'ultima applicazione di questa legge si ha in concomitanza con la legge di Snell, nel momento in cui una parte di intensità di un raggio incidente viene diffusa anziché essere integralmente riflessa.

Legge di Snell con diffusione

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